Álló Poisson-hibaáramlás. A Poisson-áramlás definíciója. Tulajdonságok Az események közötti intervallumok megoszlása
Ha a szám n tesztek meglehetősen magas, és a valószínűsége p esemény bekövetkezése A független kísérletekben kicsi, akkor az általunk használt valószínűség meghatározásához Poisson-tétel
: Ha bent van n független kísérletek valószínűsége p esemény bekövetkezése A mindegyikben állandó és kicsi, és a kísérletek száma meglehetősen nagy, akkor az A esemény bekövetkezésének valószínűsége k képlettel számolva 
, Ahol 
.
Ezt a képletet ún Poisson-képlet .
15. példa. Annak a valószínűsége, hogy minden egyes géppuska lövéssel eltalálják a repülőgépet, 0,001. 3000 lövést adnak le. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a gépet eltalálja: a) egyszer vagy kétszer; b) legalább egyszer.
Megoldás. A példa szerint n=300, p=0.001, 
.
a) Jelöljük az A= (egyszer vagy kétszeri síkba ütközés) eseményt. Akkor .
b) Jelöljük a B= eseményt (legalább egyszer eltalálni a síkot). Akkor .
Az események áramlása olyan események sorozata, amelyek véletlenszerű időpontokban egymás után következnek be.
Például egy hívásfolyam a szolgáltatási szektorban (TV-javítás, mentőhívás stb.), egy telefonközpont hívásfolyama, egy bizonyos rendszer egyes részeinek működési hibája stb.
A patak ún a legegyszerűbb , ha a következő feltételek teljesülnek:
Egy esemény bekövetkezésének valószínűsége az időtartam hosszától függ t;
Számos esemény bekövetkezésének valószínűsége bármely időszakon belül nem függ azon események számától, amelyek ezen intervallum kezdete előtt történtek;
Annak a valószínűsége, hogy két vagy több esemény meglehetős rövid időn belül bekövetkezik, kicsi, és minél kisebb, annál kisebb a valószínűsége.
Ha ezek a feltételek teljesülnek, a következő állítás igaz:
A képlet határozza meg annak valószínűségét, hogy egy véletlen esemény k alkalommal fog bekövetkezni t idő alatt
,
ahol az időegység alatt bekövetkező események átlagos száma.
16. példa. A takács által üzemeltetett szövőszékeken egy órán belül 90 cérnaszakadás következik be. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 4 percen belül a következők következnek be: 1) egy szünet; 2) legalább egy szünet.
Megoldás. Feltétel szerint t=4. A szünetek átlagos száma percenként a 
. Akkor 
.
1) 
. 2) .
A tudás önkontrollának kérdései
1. Hogyan nevezzük a közös rendezvények összegét?
2. Mit nevezünk inkompatibilis események összegének?
3. Hogyan fogalmazódik meg az inkompatibilis események valószínűségeinek összeadásának tétele?
4. Mennyi az ellentétes események valószínűségeinek összege?
5. Hogyan nevezzük két esemény szorzatát?
6. Milyen eseményeket nevezünk függetlennek?
7. Hogyan fogalmazódik meg a független események valószínűségeinek szorzására vonatkozó tétel?
8. Milyen eseményeket nevezünk függőnek?
9. Mit nevezünk feltételes valószínűségnek?
10. Hogyan fogalmazódik meg a függő események valószínűségeinek szorzására vonatkozó tétel?
11. Mit nevezünk egy esemény teljes valószínűségének, és hogyan írható fel a teljes valószínűségi képlet?
12. Hogyan írják le a Bayes-képletet?
13. Milyen teszteket nevezünk függetlennek, és hogyan írják fel Bernoulli képletét?
14. Hogyan fogalmazódik meg Laplace lokális tétele?
15. Hogyan fogalmazódik meg Laplace integráltétele?
16. Hogyan fogalmazódik meg a Poisson-tétel?
A helyreállított tárgyakat a javítás után is rendeltetésszerűen használják. A helyreállított objektumok megbízhatóságát általában a meghibásodási folyamat jellemzői alapján értékelik. Általában folyam Az események véletlenszerű időpontokban egymást követő homogén események sorozata. A restaurált objektumok megbízhatóságának elmélete elsősorban az események legegyszerűbb folyamatait veszi figyelembe, amelyekre jellemző hétköznapiság, stacionaritásÉs utóhatás hiánya(ilyen eseményfolyamokkal a gyakorlatban leggyakrabban találkozhatunk).
Az eseményfolyam ún rendes, ha egy időintervallumban két vagy több meghibásodás bekövetkezésének valószínűsége elhanyagolható egy hiba bekövetkezésének valószínűségéhez képest. Így a rendszer meghibásodásai egyenként jelentkeznek.
Az eseményfolyam ún helyhez kötött, ha annak a valószínűsége, hogy egy adott számú esemény egy t időintervallumba esik, csak az intervallum hosszától függ, és nem attól függ, hogy ez az intervallum pontosan hol található a tengelyen. Az események stacionárius áramlása azt jelenti, hogy az áramlási sűrűség állandó. Nyilvánvalóan, ha megfigyeljük, az áramlásban páralecsapódások és ritkák lehetnek. Stacionárius áramlás esetén azonban ezek a kondenzációk és ritkulások nem rendszeresek, és az egységnyi időintervallumra eső események átlagos száma állandó marad a teljes vizsgált időszakban.
Nincs utóhatás a legegyszerűbb eseményfolyamban azt jelenti, hogy az egyetlen időintervallumban bekövetkező meghibásodások valószínűsége nem függ az összes korábbi időintervallumban előforduló hibáktól, azaz a meghibásodások egymástól függetlenül jelentkeznek. Az elektronikus számítástechnikai létesítményekben a hibaáram egyenlő az egyes eszközök hibaáramainak összegével. Ha minden egyes áramlás meglehetősen egyenletes és csekély hatással van a teljes áramlásra, akkor a teljes áramlás az lesz a legegyszerűbb.
Legyen a legegyszerűbb hibafolyam a következő tulajdonságokkal.
1. A meghibásodások közötti idő egy exponenciális törvény szerint van elosztva egy bizonyos A, paraméterrel ((4.16)-(4.21) képletek:
Ezért és T 0 - Az első meghibásodásig eltelt idő egy exponenciális törvény szerint van elosztva, ugyanazzal a paraméterrel x(Az első kudarcig eltelt átlagos idő a matematikai elvárás T:
Ilyen körülmények között a meghibásodási arány X(t)állandónak bizonyul:
2. Hagyjuk r(t) - meghibásodások száma az idő múlásával t (r(t) egy valószínűségi változó). Annak a valószínűsége, hogy közben t meg fog történni m hibák meghibásodási arányban X, a Poisson-törvény határozza meg (lásd (4.22)):
3. Meghibásodások átlagos száma az idő múlásával t egyenlő:
4. Annak a valószínűsége, hogy az idő alatt t nem történik hiba, egyenlő: P(t) = e~ i.
A leírt események legegyszerűbb folyamatát is nevezik álló Poisson-áramlás. Mint fentebb említettük, ez a folyamat jellemző az összetett, nagyon megbízható objektumokra.
A visszaállított objektum működési folyamata a helyreállítással összefüggő működőképesség és leállás váltakozó intervallumainak sorozataként írható le. Feltételezzük, hogy az objektum meghibásodását azonnal rögzítjük, és ettől a pillanattól kezdődik a helyreállítási eljárás. A szervizelhetőségi intervallumok (az objektum 100%-os helyreállítását feltételezzük) független és azonos eloszlású valószínűségi változók, és nem függenek a helyreállítási intervallumoktól, amelyek szintén független és azonos eloszlású (valószínűleg eltérő eloszlású) valószínűségi változók. Az intervallumsorozatok mindegyike a maga egyszerű eseményfolyamát alkotja.
Emlékezzünk vissza, hogy a restaurált objektumok esetében a fő jellemző az hibaáramlási paraméter. Az ilyen objektumok működése a következőképpen írható le: az időpont kezdeti pillanatában az objektum működésbe lép, és meghibásodásig működik, meghibásodás után megtörténik a helyreállítás, és az objektum ismét működik a meghibásodásig stb. vezető funkciójaQ(t) egy adott áramlásra, ami a meghibásodások számának időbeli matematikai elvárása 1:
Ahol r(t) - meghibásodások száma az idő múlásával t.
A co(0) hibafolyam paraméter a rövid időintervallumban várható meghibásodások átlagos számát jellemzi, és a (2.9) képlet határozza meg:
A vezető függvényt a hibaáramlási paraméterrel fejezhetjük ki:
Mert álló Poisson áramlások, amint fentebb említettük, a meghibásodási arány állandó érték, és egyenlő a X; ebben az esetben egybeesik a hibaáramlási paraméterrel. Valójában egy stacionárius Poisson-áramlás 3. tulajdonsága alapján a hibák átlagos száma r idő alatt egyenlő: K.(t) = M = Xt, ennélfogva,
Meghibásodások közötti átlagidő. Mint már említettük, ez a mutató az üzemidő és az ezen üzemidő alatti meghibásodások számának matematikai elvárásainak aránya. Mivel a hibák stacioner áramlásával M , (a£x£b)
A modellezéshez az inverz függvény módszert alkalmazva algoritmust kapunk az első időpillanat kiszámítására
ahol u a DSC-ből származik.
Végül a következő algoritmusunk van az egyenletes áramlás modellezésére:
1) az első esemény bekövetkezésének t 1 időpontját a képlet számítja ki
2) a következő időpillanatokra a számításokat a képlet segítségével végezzük
tj =tj-1 + a + (b-a)u;
Az u értéket a DFS generálja.
Erlang folyam rend k
A k-edik rendű Erlang-folyam olyan eseményfolyam, amelyet a legegyszerűbb folyam „ritkításával” kapunk, amikor a folyamban minden k-edik pontot (eseményt) tárolunk, és az összes közteset eldobjuk.
A két szomszédos esemény közötti időintervallum egy k-edrendű Erlang-folyamban k db független Z 1 , Z 2 ,..., Z k valószínűségi változó összege, amelyek exponenciális eloszlásúak λ paraméterrel:
A Z valószínűségi változó eloszlási törvényét k-edrendű Erlang-törvénynek nevezzük, és ennek sűrűsége van
, (x > 0).
A Z valószínűségi változó matematikai elvárása és varianciája egyenlő:
M[Z]=k/; D[Z]=k/2.
Az Erlang-áramlás definíciója alapján egyszerű modellezési módszert kapunk: = /k intenzitású Poisson-áramlást elvékonyítunk, azaz. egy Poisson-folyamban megengedünk 1,2,...,k-1 számokkal időpillanatokat, és hagyjuk a k-adik pillanatot, mert az új szálhoz tartozik stb. Így az Erlang áramlás idejét a következő képletekkel számítjuk ki:
ahol a k-edrendű Erlang-folyam intenzitása, u j véletlenszámok a véletlenszám-tényezőből.
3. A KUTATÁS TÁRGYAI ÉS ESZKÖZEI
A laboratóriumi munka vizsgálati tárgyai több ismert jellemzőkkel rendelkező folyam összeolvadásával létrejövő eseményfolyamok.
Az eseményfolyamok szimulálása során különféle rendezési módszereket alkalmaznak.
Az egyik egyszerű rendezési mód a buborékos módszer (BUBBLE), amely lehetővé teszi, hogy egy N elemet tartalmazó A tömböt például növekvő sorrendbe rendezzünk. A megfelelő algoritmus a 4.1. ábrán látható. Azonban. Az ilyen típusú problémákra hatékonyabb módszer lenne a beillesztési módszer.
eljárás BUBBLE(A, N);
I. ciklus = 1, N1;
Ha A(K) £ A(J), akkor lépjen 20-ra;
Ha (K³1), akkor lépjen 10-re;
4.1. Buborékos rendezési rutin
Laboratóriumi munkában más, hatékonyabb válogatási módok is alkalmazhatók (például cím szerinti rendezés stb.).
4. MUNKA ELŐKÉSZÜLÉS
4.1. Ismerkedjen meg az eseményfolyamok fő típusaival.
4.2. Ismerkedjen meg a Poisson modellezési módszerekkel, az események egyenletes áramlásával és az Erlang k sorrendű áramlásával.
4.3. Ismerje meg a számtömbök rendezésének módszereit.
5. MUNKAPROGRAM
Egy bizonyos sorba állító rendszer különböző csatornákon keresztül fogadja a kéréseket, egy adott típusú eseményfolyamot alkotva. A rendszer bejáratánál a patakok eggyé olvadnak. Hozzon létre egy algoritmust és programot az opcióban megadott eredő folyam szimulálására.
Nyomtassa ki a kérések beérkezésének első 100 alkalmát az eredményül kapott folyamatban. Az első 1000 alkalmazásnál számítsa ki az átlagos áramlási intenzitás becslését. Hasonlítsa össze a talált becslést az áramlási intenzitás elméleti értékével.
5.1. Az áramlás három, 1, 2, 3 (1/s) intenzitású Poisson eseményfolyam összevonásával jön létre (5.1. táblázat).
5.1. táblázat.
| választási lehetőség | ||||||
| 1 | 2,5 | 1,5 | ||||
| 2 | 0,5 | |||||
| 3 | 0,5 | 0,5 | 0,5 |
5.2. Az áramlás két egységes, a 1, b 1 és a 2, b 2 (c) paraméterű áramlás összevonásával jön létre (5.2. táblázat).
5.2. táblázat.
| választási lehetőség | ||||||
| egy 1 | 1,5 | |||||
| b 1 | 2,5 | 1,5 | ||||
| a 2 | 0,5 | |||||
| b 2 |
5.3. Az áramlás egy (1 / s) intenzitású Poisson-áramlás és egy a és b (c) paraméterű egyenletes áramlás összeolvadásával jön létre (5. táblázat 3.).
5.3. táblázat.
6. ELLENŐRIZZE A KÉRDÉSEKET
6.1. Határozza meg az események menetét.
6.2. Hogyan épül fel az események áramlásának valószínűségi leírása.
6.3. Hogyan lehet modellezni az állandó áramlást korlátozott következményekkel?
6.4. Ismertesse a Poisson-áramlást és annak modellezését.
6.5. Ismertesse az egyenletes áramlást és annak modellezését.
6.6. Ismertesse a k-edrendű Erlang áramlást és szimulációs módszerét!
6.7. Adja meg a laboratóriumi munkában vizsgált események lefolyásának jellemzőit!
6. labor
Az ügyfelek véletlenszerű időközönként lépjenek kapcsolatba a szolgáltató vállalattal, miközben a rendelések áramlása homogén (azonos típusú rendelések) és időegységenként xügyfelek. Egy ügyfél érkezésének valószínűsége nem függ a már jelentkezők számától, kicsi annak a valószínűsége, hogy egyszerre két ügyfél jelentkezik. Ezenkívül a jelentkező ügyfelek száma a vizsgált időintervallumtól függ, és nem függ a felülvizsgálat kezdetétől.
Ekkor a modell matematikailag a következőképpen írható le. Hadd r k (x) az érkezés valószínűségét jelenti Nak nekügyfelek egy x időtartamú időintervallumban, p 0 (t) annak a valószínűsége, hogy a (0, /) idő alatt egyetlen ügyfél sem lesz, ami a (14.2) szerint megfelel annak a valószínűségének, hogy az első ügyfél érkezése előtti időintervallum nagyobb, mint t.
Rizs. 14.2.
1. Ha ijH t 2 két nem átfedő intervallum (14.2. ábra), akkor a függetlenség feltevésének a következő formája van:
2. Az ügyfelek érkezése közötti átlagos idő a
3. Annak a valószínűsége, hogy az ügyfél nem érkezik meg egy nulla időtartamú időintervallumban,
4. Annak a valószínűsége, hogy az ügyfél nem érkezik meg egy végtelen időtartamú időintervallumban,
Ez a sorrendi folyamat tekinthető a legegyszerűbbnek. A rendelési folyamatot ún a legegyszerűbb, vagy Poissonian, ha három tulajdonsága van: álló, közönséges és utóhatás nélküli.
Ingatlan stacionaritás Nak nekáramlási események bármely t időintervallumban csak a számtól függ Nak nekés időtartama stb.
Ingatlan hétköznapiság jellemzi, hogy egynél több esemény bekövetkezésének valószínűsége rövid időintervallumon belül elhanyagolható ahhoz képest, hogy csak egy esemény bekövetkezik.
Ingatlan nincs utóhatás azzal jellemezve, hogy az előfordulási valószínűség Nak nekáramlási események bármely m időintervallumban nem függenek attól, hogy az események megjelentek-e vagy nem jelentek meg a vizsgált intervallum kezdetét megelőző pillanatokban.
A Poisson-áramlás alapvető szerepet játszik a sorbanállási rendszerek elméletében, mint a statisztika szokásos folyamata. A sorban állási rendszerekben használt legtöbb egyéb folyamat a Poisson módosításával érhető el.
Rizs. 14.3.
A gyakorlatban gyakran nehéz meghatározni, hogy egy áramlás rendelkezik-e a fent felsorolt tulajdonságokkal. Konkrétan megállapították, hogy ha egy áramlás nagyon sok független álló áramlás összege (szuperpozíciója), amelyek mindegyikének hatása a teljes áramlásra elhanyagolható, akkor ez a teljes áramlás, feltéve, hogy közönséges, közel áll a legegyszerűbbhez. ábrán. A 14.3. ábra egy teljes áramlás kialakítására mutat példát. Ez a tulajdonság rokon a normális eloszlás központi határérték-tételével.
Rizs. 14.4.
Véletlenszerű folyamat N(t), Az ilyen áramlás leírása és az érkező ügyfelek számának megfelelő diszkrét és véletlenszerű időpontokban csak egész értékeket vehet fel. A folyamat nem stacioner, mivel csak fokozódhat. A folyamat megvalósítását a ábra mutatja. 14.4.
Rövid időn belül a folyamat változatlan állapotban maradhat, vagy megváltoztathatja azt (eggyel növelheti az ügyfelek számát). Más szóval, a folyamat az államtól Sj csak a $, állapotba mehet. Legyen egy állapotváltozás valószínűsége kis dx időintervallumban A,dx+o(dx), ahol A>0. Az előző állapot fenntartásának valószínűsége l-^dx + o(dx). Mivel az áramlás közönséges, az állapot többszöri megváltoztatásának valószínűsége az intervallumban (/, t+ dx) a dx-hez képest magasabb rendű o(dx) végtelen kicsiny mennyiség.
Jelöljük annak a valószínűségét N(t) = n, Hogyan r p (x), Ahol x - t-t 0- a minket érdeklő időintervallum, azaz. a folyamat x időben befejeződött P ugrások. Hadd r p(x) csak x-től függ, és nem függ a kezdeti pillanattól t0, amelyből x-et mérünk. Ezért annak ellenére, hogy a folyamat nem stacionárius, a véletlen számú szolgáltatási kérelmek N(t) = P x időintervallumhoz = t-t Qállandó (stacionárius) mennyiség.
Tegyük fel azt is N(t) nem függ a t-t megelőző bármely időintervallumban bekövetkezett esemény megvalósulásainak számától, azaz. a folyamatnak megvan az a tulajdonsága, hogy nincs utóhatása. Számítsuk ki a valószínűséget pn(x+dx) mi fog történni az (x+dx) intervallumban P eseményeket.
Nyilvánvalóan azért, hogy az (x+dx) intervallum bekövetkezzen P események, két egymást kizáró eseménynek kell bekövetkeznie:
Oh történt P események az x intervallumban és 0 események a dx intervallumban. Ennek a függetlenség miatti valószínűsége egyenlő r p(t)(1-Xdx);
Oh történt P- 1 esemény a t intervallumban és 1 esemény a dx intervallumban. Ennek a valószínűsége egyenlő R ((x)A.dx.
És így,
Vigyük át a bal oldalra r p(x) és ossza el dx-el:
A dx-nél eléri a határt? 0, megkapjuk a differenciálegyenletet:
Számítsuk ki a valószínűséget /? 0 (x) az a tény, hogy az (x+dx) intervallumon az esemény még egyszer sem fog bekövetkezni. Nyilvánvaló, hogy ehhez az esemény nem fordulhat elő az x és a dx intervallumban. Ennek a valószínűsége egyenlő /? 0 (x) (1-х).
És így,
A megfelelő differenciálegyenlet a következő:
A (14.12) és (14.13) összevonása és a folyamat figyelembevétele attól a pillanattól kezdve, hogy ^ = 0 és x = t, differenciálegyenlet-rendszert kapunk:
Állítsuk be a következő kezdeti feltételeket:
ami azt jelenti, hogy a kezdeti pillanatban t 0 az esemény nem történt meg.
Mint látható, a (14.14) és (14.15) egyenletek a Kolmogorov-Chapman egyenletek differenciál alakban (13.11) az abszolút valószínűségekre vonatkozó speciális esetei, és a leírt folyamat Markov-féle.
A rendszer általános megoldásának megtalálásához kényelmesen használható
hozza létre a Laplace-transzformációt. Hadd p(i) A (14.14) rendszer egyenletének mindkét oldalára alkalmazva a Laplace-transzformációt, figyelembe véve a (14.16) kezdeti feltételeket, megkapjuk
Az eredeti kezdeti állapotáról szóló tétel szerint
Az eredeti végső állapotára vonatkozó tétel szerint
A kapott jellemzők megfelelnek a vizsgált modellnek.
Az inverz Laplace-transzformáció (14.17) lesz
A Laplace-transzformációt mindkét oldalra alkalmazva (14.15) a kezdeti feltételek (14.16) figyelembevételével kapjuk
A (14.17) és (14.18) szerint
A Laplace transzformációs táblázat szerint
A (14.20) segítségével a (14.19)-ből megkapjuk a Poisson-eloszlást
ami annak a valószínűségét adja meg abban a pillanatban t> 0 a rendszer állapota N(f) = P vagy mi lesz addig P változtatások.
Rizs. 14.5. Független Poisson-folyamatok Xt (És Xx 2
Így egy rögzített intervallumon belüli események száma egy Poisson-folyamban a Poisson-törvény szerint oszlik meg. Ráadásul az események számát N(t( ,t 2)És N(t3,t 4) nem átfedő intervallumokon T t = t 2 -1(és t 2 = t 4 -1 3 hol t ( függetlenek (14.5. ábra).
ábrán. A 14.6 0,1,2, 3, 4 kliens érkezési valószínűségi sűrűségét mutatja, amikor az intenzitásokra vonatkozó Poisson-törvény szerint érkeznek X = 0,5 (14.6. ábra, A)És x= 1 (14.6. ábra, b). Mint látható, az intenzitás növekedésével növekszik annak a valószínűsége, hogy a vásárlók az első pillanatokban megérkeznek.
Annak a valószínűsége, hogy közben t nem kap többet P az elosztási függvény által meghatározott sorrendek
Rizs. 14.6. Poisson valószínűségi sűrűség at x = 0,5 (A)és A = 1 (b) 1-р(0У, 2-р() 3-р(2У, 4-р(3);5-р(4)
A (11.41) szerint a Poisson-eloszlást generáló függvény (14.21) diszkrét érték felett P
(14.23)
Az érkező kliensek számának matematikai elvárása, Poisson szerint elosztva, a (11.43) szerint
Így az események átlagos száma N(t) a / intervallumban egyenlő U.
A / intervallumban a rendelések számának szórását jellemző diszperzió (11.44) szerint,
Mint látható, a legegyszerűbb áramlás szórása megegyezik a matematikai elvárással. Ez a tulajdonság a rendelési folyamat legegyszerűbbnek való megfelelésének kritériumaként szolgálhat.
A (14.21) Poisson-képlet a legegyszerűbb áramlás összes tulajdonságát tükrözi. Valójában a képletből kitűnik, hogy az előfordulási valószínűség P alatti eseményeket t adott A intenzitás esetén csak / függvénye, amely a stacionaritás tulajdonságát jellemzi. A képlet nem használ információt a vizsgált intervallum kezdete előtti események előfordulásáról, ami az utóhatások hiányának tulajdonságát jellemzi. Ha és m 2 két nem átfedő időintervallum, akkor a függetlenségi tulajdonság fennáll, hiszen
Egynél több esemény valószínűsége rövid időintervallumon belül R(/) = (A,/) 2 /2!. Ez a valószínűség elhanyagolható
egy A-val egyenlő esemény bekövetkezésének valószínűségéhez képest L, amely a közönséges áramlás tulajdonságát jellemzi.
Ezután keressük meg egy Poisson-folyamathoz két egymást követő esemény közötti intervallumok valószínűségi eloszlását. Legyen a valószínűségi változó T jellemzi ezen intervallumok hosszát. Jelöljük azzal F(x) ennek a valószínűségi változónak az eloszlásfüggvénye. A-priory, F(x) - annak a valószínűsége T Annak a valószínűsége, hogy egy esemény nem következett be az időintervallumban, ha az abban a pillanatban történt t0, egyenlő a feltétlen valószínűséggel
azok. 
Következésképpen a két egymást követő esemény közötti intervallum hosszának eloszlásfüggvénye egy exponenciális törvény alakja:
A (14.25) differenciálás után megkapjuk a két esemény közötti intervallum megfelelő valószínűségi sűrűségét:
Figyelembe véve (14.26) és (14.24) annak a valószínűségét, hogy egy sorrend az (x,T+dx) intervallumon belül megjelenik, a következőképpen írható fel.
azok. az (x,T + dx) intervallumon belüli sorrend beérkezésének valószínűsége egyenlő A,dx-szel, nem függ x-től és arányos dx-el. Nagyságrend x az exponenciális törvény paraméterének nevezzük. Mert a x nem függ az x intervallum időtartamától, az exponenciális eloszlásnak nincs memóriája és nincs kora (lásd 10.7. ábra).
Így a legegyszerűbb intenzitású áramlásért x véletlenszerű érték T, a szomszédos rendek (események) közötti intervallumot reprezentáló exponenciális eloszlású eloszlásfüggvénnyel (14.25) és eloszlássűrűséggel (14.26). Ha az ügyfélérkezések közötti idő exponenciális eloszlású átlaggal T, majd a valószínűségi változó N(t), meghatározott időközönként érkező ügyfelek számát jelenti, Poisson-eloszlása van paraméterrel xt, Ahol X=/T. A folyamat Markov jellegéből adódóan az események közötti intervallumok egymástól függetlenek. Ezért az a folyamat, amelyben az események közötti intervallumok egymástól függetlenek és az exponenciális törvény hatálya alá tartoznak, Poisson-folyamat.
A (14.11) differenciaegyenleteknek megfelelően ábrázolhatjuk a Poisson-folyamat grafikonját (14.7. ábra). A gráf csúcsai a rendszer állapotait jelzik, amelyek egy Poisson kliensfolyam esetén megfelelnek az érkező kliensek számának. Az ívek felett láthatók az átmenet valószínűségei.
Rizs. 14.7.
Hosszú időn keresztül a szomszédos állapotba való átmenet valószínűsége egyre, az ugyanabban az állapotban maradás valószínűsége pedig nullára hajlik, és a grafikon az 1. ábrán. ábra grafikonjává alakítjuk a 14.7. 14.8. Az átmenetek intenzitása a grafikonívek felett látható. A folyamat állapotának ideje véletlenszerű, és egy exponenciális törvény szerint oszlik el, matematikai elvárásokkal /X.Átlagosan 1D idő után a rendszer a következő állapotba lép, ami megfelel a következő kliens érkezésének. Mivel a folyamat közönséges, az átmenet csak a szomszédos állapotokba lehetséges. Az ívátviteli függvény a (10.47) exponenciális eloszlás Laplace-transzformációjának felel meg.
A gyakorlatban leggyakrabban az alkalmazások legegyszerűbb (Poisson) folyamatának figyelembevételére korlátozódnak.
Meghatározás. Eseményfolyam, amely rendelkezik a tulajdonságokkal hétköznapiság, stacionaritás és az utóhatás hiánya, hívott a legegyszerűbb ( vagy álló Poisson-áramlás. A legegyszerűbb eseményfolyam esetén annak a valószínűsége, hogy pontosan k esemény fog bekövetkezni egy t hosszúságú időintervallumban, Poisson-eloszlású, és a képlet határozza meg:
Р(X(t,t) = k) = a k e -a /k! (k=0, 1, 2,…),
Ahol a = lt, l – áramlási intenzitás.
Az eseményfolyam intenzitásának fizikai jelentése az időegységre jutó események átlagos száma (időegységre jutó alkalmazások száma), dimenziója 1/idő.
Ezt az áramlást a legegyszerűbbnek nevezik, mert a legegyszerűbb áramlások hatására a rendszerek vizsgálata a legegyszerűbb módon történik.
A legegyszerűbb folyam kérelmei közötti intervallumok eloszlása exponenciális (exponenciális) lesz az eloszlásfüggvénnyel és a sűrűséggel, ahol a kérések fogadásának intenzitása a QS-hez.
Tekintsük a legegyszerűbb áramlás alapvető tulajdonságait:
Állandóság;
hétköznapiság;
Nincs utóhatás.
Stacionaritás. A stacionaritás tulajdonsága abban nyilvánul meg, hogy egy bizonyos számú esemény bekövetkezésének valószínűsége egy időtartamon belül csak attól függ, szakasz hossza És nem függ a tengelyen elfoglalt helyétől . Más szóval, a stacionaritás az események időbeli áramlásának valószínűségi rendszerének változatlanságát jelenti. Az áramlást, amelynek stacionaritás tulajdonsága van, ún helyhez kötött. Álló áramlás esetén az egységnyi idő alatt a rendszert érintő események átlagos száma állandó marad. Egy vállalkozás gazdaságában az események valós áramlása valójában csak korlátozott ideig áll fenn.
A hétköznapiság. A közönséges áramlás tulajdonsága akkor áll fenn, ha annak a valószínűsége, hogy egy elemi időszegmensben két vagy több esemény bekövetkezik, elhanyagolható ennek a szakasznak a hosszához képest. A hétköznapiság tulajdonsága azt jelenti, hogy rövid időn belül gyakorlatilag lehetetlen egynél több esemény bekövetkezése. Az olyan áramlást, amelynek az a tulajdonsága, hogy közönséges, nevezzük rendes. Az események valós áramlása a különböző gazdasági rendszerekben vagy közönséges, vagy egyszerűen hétköznapira redukálható.
Nincs utóhatás. Az áramlásnak ez a tulajdonsága, hogy bármely nem átfedő időszegmensnél az egyikre eső események száma nem függ attól, hogy hány esemény esik más időszegmensekre. Olyan áramlást nevezünk, amelynek nincs utóhatás tulajdonsága utóhatás nélküli áramlás.
Az események olyan folyamatát, amely egyszerre rendelkezik a stacionaritás, a hétköznapiság és az utóhatás hiánya tulajdonságaival, nevezzük az események legegyszerűbb folyama.
2.6. Összetevők és osztályozás
sorbanállási rendszerek (QS) modelljei
A sorbanállási rendszerek (TSMS) elméletének első problémáival a Koppenhágai Telefontársaság munkatársai, A. K. Erlang (1878–1929) dán tudós foglalkoztak az 1908 és 1922 közötti időszakban. Ezeket a feladatokat a telefonhálózat működésének racionalizálásának és olyan módszerek kidolgozásának vágya hívta életre, amelyek lehetővé teszik az ügyfélszolgálat minőségének proaktív javítását a használt eszközök számától függően. Kiderült, hogy a telefonközpontokon kialakuló helyzetek nem csak a telefonos kommunikációra jellemzőek. A TSMO keretein belül leírható a repülőterek, a tengeri és folyami kikötők, üzletek, terminálosztályok, radarkomplexumok, radarállomások, stb., stb. munkája.
Sorozati rendszerek– ezek olyan rendszerek, amelyek véletlenszerű időpontokban fogadják a szolgáltatási kérelmeket, és a beérkezett kérések kiszolgálása a rendszer rendelkezésére álló szolgáltatási csatornákon történik.
A sorban állási folyamat modellezése szempontjából a következőképpen merülnek fel olyan helyzetek, amikor az alkalmazások (követelmények) sorai jönnek létre a szolgáltatáshoz. A kiszolgáló rendszerhez érkezve a kérés csatlakozik a többi (korábban beérkezett) kérés sorához. A szolgáltatási csatorna kiválaszt egy kérést a sorban lévők közül a kiszolgálás megkezdéséhez. A következő kérés kiszolgálási eljárásának befejezése után a szolgáltatási csatorna megkezdi a következő kérés kiszolgálását, ha van ilyen a várakozási blokkban.
Egy ilyen sorbanállási rendszer működési ciklusa sokszor megismétlődik a kiszolgáló rendszer teljes működési ideje alatt. Feltételezzük, hogy a rendszer átállása a következő kérés kiszolgálására az előző kérés kiszolgálásának befejezése után azonnal, véletlenszerű időpontokban történik.
A sorbanállási rendszerek példái közé tartoznak az autószervizek; bármely szolgáltató vállalkozás; bejövő alkalmazásokat vagy bizonyos problémák megoldására vonatkozó követelményeket kiszolgáló személyi számítógépek; könyvvizsgáló cégek; a vállalkozások aktuális beszámolóinak elfogadásáért és ellenőrzéséért felelős adóellenőrzési osztályok; telefonközpontok stb.
A valódi rendszerek, amelyekkel a gyakorlatban foglalkozunk, általában nagyon összetettek, és számos karbantartási lépést (szakaszt) tartalmaznak. Ezen túlmenően minden szakaszban előfordulhat annak elmulasztása, vagy más követelményekhez képest elsőbbségi szolgáltatás helyzete. Ebben az esetben előfordulhat, hogy az egyes szervizegységek leállnak (javítás, beállítás stb. miatt), vagy további eszközök csatlakoztathatók. Előfordulhatnak olyan körülmények, amikor az elutasított követelmények visszakerülnek a rendszerbe (információs rendszerekben ez megtörténhet).
Bármilyen típusú sorbanállási rendszer fő összetevői a következők:
Bejövő igények vagy szolgáltatáskérések bemeneti áramlása;
Sorfegyelem;
Szolgáltatási mechanizmus.
Bemeneti követelmények Stream. A bemeneti folyamat leírásához meg kell határozni egy valószínűségi törvényt, amely meghatározza a szolgáltatási kérelmek beérkezésének pillanatainak sorrendjét, és minden következő érkezéskor jelzi az ilyen kérések számát. Ebben az esetben általában a „követelmények beérkezésének pillanatainak valószínűségi eloszlásának” koncepciójával működnek. Itt egyéni és csoportos igények is fogadhatók (a követelmények csoportosan érkeznek a rendszerbe). Utóbbi esetben általában párhuzamos csoportos kiszolgálású sorbanállási rendszerről beszélünk.
Sorfegyelem- ez a sorbanállási rendszer fontos eleme, meghatározza azt az elvet, amely szerint a kiszolgáló rendszer bemenetére érkező követelmények a sorból a szolgáltatási folyamatba kapcsolódnak. A leggyakrabban használt várólista diszciplínákat a következő szabályok határozzák meg:
– érkezési sorrendben (FIFO);
– utolsó érkezés, első kiszolgálás (LIFO);
– véletlenszerű alkalmazások kiválasztása (RANDOM);
– a pályázatok elsőbbségi kritérium (PR) szerinti kiválasztása;
– a kiszolgálás pillanatára vonatkozó várakozási idő korlátozása (korlátozott várakozási idővel vagy férőhellyel rendelkező sor áll rendelkezésre, ami a „megengedett sorhossz” fogalmához kapcsolódik).
Megjegyzendő, hogy az alkalmazás szervizelésének ideje magának az alkalmazásnak a természetétől vagy az ügyfél igényeitől, valamint a kiszolgáló rendszer állapotától és képességeitől függ. Bizonyos esetekben figyelembe kell venni azt a valószínűséget is, hogy a szervizeszköz bizonyos korlátozott időintervallum után távozik.
A szolgáltatási rendszer felépítését a szolgáltatási csatornák (mechanizmusok, eszközök stb.) száma és egymáshoz viszonyított helyzete határozza meg. Egy szolgáltatási rendszernek több szolgáltatási csatornája is lehet, de több is - egy ilyen rendszer több követelmény egyidejű kiszolgálására is alkalmas. Ebben az esetben, ha minden szolgáltatási csatorna ugyanazokat a szolgáltatásokat kínálja, akkor lehet érvelni, hogy van párhuzamos szolgáltatás - többcsatornás rendszer.
Egy szervizrendszer több különböző típusú szolgáltatási csatornából állhat, amelyeken keresztül minden kiszolgált követelménynek át kell haladnia, azaz a szervizrendszerben a követelmények kiszolgálási eljárásai egymás után kerülnek megvalósításra.
A szolgáltatási rendszerek főbb összetevőit megvizsgálva kijelenthető, hogy bármely sorbanállási rendszer működőképességét a következő fő tényezők határozzák meg:
A szolgáltatási kérelmek beérkezésének pillanatainak valószínűségi eloszlása (egyszeri vagy csoportos);
A szolgálati idő valószínűségi eloszlása;
A kiszolgáló rendszer konfigurálása (párhuzamos, soros vagy párhuzamos-soros karbantartás);
Kiszolgáló csatornák száma és teljesítménye;
Sorfegyelem;
Forrásszükséglet.
A korlátozott várakozással rendelkező rendszerekben a sor hossza és a sorban eltöltött idő korlátozott lehet.
A korlátlan várakozással rendelkező rendszerekben egy sorban álló alkalmazás korlátlan ideig, azaz a sor megérkezéséig várakozik a szolgáltatásra.
A QS adott besorolása feltételes. A gyakorlatban a sorbanállási rendszerek leggyakrabban vegyes rendszerként működnek. Például a kérések egy bizonyos pontig várnak a szolgáltatás megkezdésére, majd a rendszer hibás rendszerként kezd működni.
A sorbanálláselmélet tárgya kapcsolat létrehozása a sorozórendszer működőképességét és működésének hatékonyságát meghatározó tényezők között. Az esetek többségében a sorozási rendszereket leíró összes paraméter valószínűségi változó vagy függvény, ezért ezek a rendszerek a sztochasztikus rendszerekhez tartoznak.
Főként a sorbanállási rendszerek hatékonyságának kritériumai A megoldandó probléma természetétől függően a következők jelenhetnek meg:
Egy bejövő alkalmazás azonnali kiszolgálásának valószínűsége;
A bejövő alkalmazás kiszolgálásának megtagadásának valószínűsége;
Relatív és abszolút rendszeráteresztőképesség;
A szolgáltatást megtagadott alkalmazások átlagos százaléka;
Átlagos várakozási idő a sorban;
Átlagos sorhossz;
A rendszer működéséből származó átlagos bevétel időegységre vetítve.
A kérések áramlásának véletlenszerűsége és a szolgáltatás időtartama oda vezet, hogy véletlenszerű folyamat megy végbe a sorbaállító rendszerben. A queuing rendszerben (QS) előforduló véletlenszerű folyamat természete alapján különbséget teszünk Markov és nem Markov között. A sorban állási rendszerben végbemenő folyamat természetétől függetlenül a QS-nek két fő típusa van:
· hibás rendszerek, amelyekben az összes csatorna foglalt időpontjában a rendszerbe belépő alkalmazás elutasításra kerül, és kilép a sorból;
· várakozással (sorbanállással) rendelkező rendszerek, amelyekben az összes szolgáltatási csatorna foglalt időpontjában érkező kérés sorba kerül, és megvárja, amíg valamelyik csatorna felszabadul.
A QS típusának jelzésére az általánosan elfogadott Kendall–Bash jelöléseket használjuk: X/Y/Z/m,
Ahol X - a kérelmek beérkezési időszakai elosztásának törvénye típusa;
Y – a terjesztési törvény típusa a kiszolgálási kérésekhez;
Z – csatornák száma;
m – helyek száma a sorban.
Az elosztási törvény típusának megjelölésénél a betű M az exponenciális eloszlásnak felel meg (a szóból Markovian), levél E– Erlang eloszlás, R– egységes eloszlás és D– determinisztikus érték.
Például rögzíteni M/M/1 egycsatornás rendszert jelent a kérések fogadásának és kiszolgálásának exponenciális eloszlásával ( M– Markovskaya) sor nélkül.
2.7. A QS főbb jellemzőinek kiszámítása
elemző modelljeik felhasználása alapján
Tekintsünk olyan QS-eket, amelyekben a rendszer lehetséges állapotai egy láncot alkotnak, és minden állapot a kezdeti és az utolsó kivételével közvetlen és visszacsatolással kapcsolódik két szomszédos állapothoz. A rendszerben lezajló folyamat ezen diagramját ún a „halál és szaporodás” sémája. A kifejezés biológiai problémákból ered, a folyamat a populáció méretének változásait írja le.
Ha egy ilyen rendszerben minden áramlás, amely a rendszert állapotból állapotba viszi át, Poisson, akkor a folyamatot ún Markov véletlenszerű „halál és szaporodási folyamat”.
Megjegyzendő, hogy az ilyen rendszerekben minden állapot elengedhetetlen, ami azt jelenti, hogy az állapotok végső valószínűségei megtalálhatók az Erlang-egyenlet lineáris rendszeréből.
A gyakorlatban a rendszerek (SMS) jelentős része a „halál és szaporodás” folyamata keretében írható le.
Tekintsünk néhány ilyen rendszertípust:
a) egycsatornás, hibákkal (nincs sor);
b) egycsatornás, korlátozott sorbanállással;
c) többcsatornás meghibásodásokkal (nincs sor);
d) többcsatornás, korlátozott sorral.